Covid19 et la croissance exponentielle

Depuis la rédaction de l’article, la croissance exponentielle continue, et la trajectoire de la France (bleue) est toujours aussi proche de celle de l’Italie (rouge) ! Voir le graphique ci-dessus.

Sources : données de l’université Johns Hopkins compilées à l’adresse https://coronavirus.politologue.com

Mise à jour du 16 mars

La pandémie liée au Covid19 gagne dangereusement le monde. Chaque pays prend ses dispositions et publie ses recommandations officielles — se laver les mains fréquemment, ne plus serrer les mains ou faire la bise, etc.

Il y a cependant un paradoxe. Les pays où le nombre de cas est encore faible semblent croire qu’il leur est inutile de prendre des mesures trop contraignantes — sous peine de se voir qualifier de mesures démesurées… Il est vrai qu’on a tendance à sous-estimer la gravité d’une épidémie, surtout lorsqu’on est jeune et en bonne santé et qu’on se dit qu’au pire, avoir l’équivalent d’une grippe pendant une semaine, y’a pas mort d’homme. Bien au contraire, il faut absolument garder en tête deux points cruciaux :

  1. Même si le coronavirus n’est pas si grave que ça pour un jeune, et même celui-ci ne développe pas de symptômes, il sera un vecteur de transmission et pourra infecter à son tour les individus à risque — parmi lesquelles les personnes de plus de 50 ans ou présentant des troubles respiratoires. N’oublions pas que les lésions pulmonaires peuvent être très graves et conduire à un Syndrome de Détresse Respiratoire Aiguë (la raison pour laquelle les services de réanimation risquent le débordement)
  2. Le nombre de contaminés suit une loi de croissance exponentielle. Ainsi, un faible nombre de diagnostiqués aujourd’hui n’est pas vraiment matière à rassurer

Il y a déjà suffisamment de ressources en ligne qui traitent du problème du point de vue sanitaire. Je vais donc m’attarder sur le deuxième point, ce qui sera l’occasion de rappeler quelques fondamentaux mathématiques qui, en ces temps de pandémie, gagneraient à être connus d’un plus grand nombre.

Maladie contagieuse = croissance exponentielle

Tout repose sur l’idée très simple suivante : un malade, en contact avec d’autres personnes, peut leur transmettre le virus. Ok, dit comme ça ce n’est rien de neuf. Mais cela signifie que sans mesure de confinement, plus il y a de malades, plus le nombre de personnes nouvellement infectées sera élevé. On peut même dire que chaque jour, le nombre de nouveaux cas est proportionnel au nombre de cas de la veille [1]. Les données relevées partout dans le monde suggèrent une valeur de proportionnalité comprise entre 1,2 et 1,3. Dit autrement : chaque jour, le nombre de malades bondit de 20% à 30%.

Ceci est caractéristique d’une croissance exponentielle. C’est une suite qui évolue en partant d’un nombre initial (qu’on peut dire égal à 1, correspondant ici au patient zéro) et qui multiplie à chaque fois par une constante (ici disons 1,3). Voici l’évolution que cela donne sur 20 jours :

Suite à croissance exponentielle (taux 1,3). Si le démarrage est lent, ça s’emballe très vite !

On voit qu’au bout d’un moment (ici à peu près 10 jours), la situation s’emballe très vite. Voyons maintenant ce qu’il se passerait si on ne regardait que sur un horizon de 10 jours, et qu’on comparait à un autre pays qui partirait d’un nombre de cas plus aigu :

La courbe rouge et la courbe bleue représentent une situation imaginaire, où deux pays démarrent avec un nombre de cas différents

Si on habite dans le pays rouge, on comprend rapidement qu’on a affaire à une crise sanitaire majeure et qu’il faut agir pour endiguer la prolifération du virus. En revanche, depuis le pays bleu, ça semble suffisamment calme. Si le gouvernement, voyant ces chiffres, imposait la quarantaine à sa population, on crierait sur les réseaux sociaux que c’est scandaleux, extrême, abusé… Et pourtant. Nous avons vu que le pays bleu finit lui aussi par subir la pandémie de plein fouet. Peut-on comparer les deux pays. Je vais vous révéler un truc : pour le pays rouge, j’ai mis comme valeur de départ celle du pays bleu au 11ème jour. Et les propriétés de l’exponentielle font que la courbe rouge correspond exactement à la fin de la courbe bleue :

Pour une croissance exponentielle, commencer avec une valeur plus élevée, c’est équivalent à commencer plus tard. Ce qui veut dire que les pays où les nombres de cas sont plus faibles ont simplement du retard sur les autres (si le taux d’évolution ne change pas, par exemple si aucune mesure n’est prise)

Cela signifie que lorsqu’on démarre d’une valeur plus élevée, c’est comme si on était dans le futur d’un autre pays — et réciproquement, si on démarre d’une valeur plus faible, c’est comme si on était dans le passé d’un autre pays [2]. Voici pourquoi on dit que la France a du retard sur l’Italie, ou que l’Europe a du retard sur la Chine. Le faible nombre de cas (enfin faible… relativement) d’il y a une semaine n’aurait pas dû être une invitation à rassurer la population (« ne vous en faites pas, la situation n’est pas si grave que ça, inutile de s’alarmer et donc de changer vos comportements »), mais à se rendre compte qu’il vaut mieux prendre des dispositions pour ralentir les contaminations (et donc faire baisser le facteur), afin de gagner le plus de temps possible.

Image
Si on trace la courbe de progression de l’Italie avec celle de la France décalée de 8 jours, on a une superposition quasi-parfaite

Finalement, la situation de cette dernière semaine en France résulte vraisemblablement du manque de mesures politiques fortes conjugué à l’insouciance de la population. Comme pour la majorité des drames modernes, la responsabilité est partagée entre tous.


Notes

[1] Tout cela est semblable au cas de la radioactivité : étant donné une certaine matière radioactive, le nombre de désintégrations (par unité de temps) est proportionnel à la quantité de matière présente. Cela conduit à la fameuse équation différentielle f’ = a.f (la dérivée est proportionnelle à la fonction) dont la solution est, par définition, une fonction exponentielle ; ici de la forme f(t) = f_0 . e^{at}. Noter que pour les désintégrations radioactives, a est négatif (la quantité de matière diminue), on a donc affaire à une décroissance exponentielle.

[2] Formellement, cela provient du fait que l’exponentielle convertit les additions en multiplications. Pour réaliser un décalage temporel d’une durée de t_0, on passe de f(t) à f(t-t_0).

Et ensuite, f_0e^{t – t_0} = f_0e^{t}e^{ – t_0} = (f_0 e^{ – t_0}) e^{t}.

Partager l'article

3 réponses sur “Covid19 et la croissance exponentielle”

  1. Partage de responsabilités, oui ! Ne pas oublier aussi que le gouvernement fait tout pour que les gens ne cèdent pas à la panique. L’inquiétude est là, partout et chez tout le monde, le gouvernement tente donc d’apaiser un maximum les esprits mêmes si le pire est à venir…

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *