Parmi les symboles ésotériques, le pentagramme (étoile à 5 branches) est sans doute l’un des plus célèbres. Sa simplicité géométrique combinée à la symbolique du chiffre 5 en font un candidat de choix pour représenter une supposée matrice de l’univers. Il a été beaucoup utilisé dans la kabbalah (mystique juive) ou en alchimie, comme l’atteste le fascinant article Wikipédia à son sujet.
Comment se dessine l’étoile à 5 branches ? C’est facile, il suffit de prendre un pentagone régulier, et de relier sommet sur deux, jusqu’à ce qu’on retourne au point de départ (le sommet du haut).
À partir de là, tout esprit matheux qui se respecte se demande ce qu’il se passerait si on procédait à la même construction mais avec d’autres valeurs. De quelles valeurs parle-t-on ? On peut remarquer que la construction du pentagramme a utilisé deux nombres :
- le nombre de côtés du polygone de départ, ici 5 ;
- le nombre de sommets à « sauter » entre chaque trait, ici 2.
Ainsi, notre pentagramme classique, provenant de ces deux valeurs, est entièrement caractérisé par celles-ci : on lui donne donc le doux nom de (5,2).
Essayons donc de refaire la même chose mais en partant d’un polygone à 6 côtés (un hexagone pour les hellénisants), et testons différentes valeurs pour l’autre paramètre. On construit donc les figures (6,1) à (6,5) :
- (6,1) correspond à l’hexagone régulier, puisqu’on relie tous les sommets dans l’ordre, sans en sauter aucun.
- À partir de (6,2), notre procédure n’atteint plus tous les sommets de l’hexagone ! En effet, en reliant les sommets de 2 en 2, on revient à notre point de départ en 3 tours (puisque 3 × 2 = 6).
- De même pour (6,3), mais on revient au point de départ dès le deuxième trait tiré, puisque 2 × 3= 6 !
- Ensuite, les figures restantes sont les symétriques des premières (comme si la ligne verticale en (6,3) était un miroir). On voit que (6,4) est comme (6,2) mais en tournant dans l’autre sens. Cela s’explique car sur l’hexagone, tourner de 4 sommets dans un sens, c’est tourner de 2 sommets dans l’autre. On peut faire la même remarque pour (6,5).
Cette remarque est en fait intuitive pour quiconque sait lire l’heure : tout le monde sait que 45 minutes, « moins le quart » (pour l’heure d’après). D’ailleurs, regardons ce qui se passe si on construit les mêmes pentagrammes pour un polygone à 12 sommets—un dodécagone—, chacun représentant un marquage sur l’horloge. On ne va afficher que (12,1) à (12,6) puisqu’après, tout comme on vient de le voir, les figures seront symétriques.
